Question

（2013•内江二模）过椭圆C：

x2

5

+y2=1的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，则λ₁+λ₂=（　　）

A．10

B．5

C．-5

D．-10

Answer 1

分析：如图所示，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由题意，c=

a2-b2

=

5-1

=2，可得F（2，0）．设直线l的方程为：y=k（x-2），则M（0，-2k）．利用向量相等可以得到λ₁，λ₂的表达式，再将直线l的方程与椭圆的方程联立，即可得到根与系数的关系，代入λ₁+λ₂即可．

解答：解：如图所示，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意，c=

a2-b2

=

5-1

=2，∴F（2，0）．
设直线l的方程为：y=k（x-2），则M（0，-2k）．
∴

MA

=(x1，y1+2k)，

AF

=(2-x1，-y1)，

MB

=(x2，y2+2k)，

BF

=（2-x₂，-y₂）．
∵

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，∴x₁=λ₁（2-x₁），x₂=λ₂（2-x₂）．（*）
联立

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

，消去y得到（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

．
由（*）可得λ₁+λ₂=

x1

2-x1

+

x2

2-x2

=

x1(2-x2)+x2(2-x1)

(2-x1)(2-x2)

=

2(x1+x2-x1x2)

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2( 20k2 1+5k2 - 20k2-5 1+5k2 )

4- 40k2 1+5k2 + 20k2-5 1+5k2

=-10．
故选D．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、向量的运算性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系等是解题的关键．