Question

（2011•重庆模拟）已知函数f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx+m(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[-

3

，2]？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：把函数解析式的第一项理由二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，
（Ⅰ）找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函数的最小正周期；由余弦函数的单调区间[2kπ，2kπ+π]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递减区间；
（Ⅱ）不存在，理由为：由x的范围，求出2x-

π

6

的范围，根据余弦函数的图象与性质得到cos（2x-

π

6

）的值域，进而表示出函数f（x）的值域，根据已知函数的值域求出m的值，求出m的值不相等，矛盾，故这样的m不存在．

解答：解：f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx+m
=

3

（cos2x+1）+sin2x+m
=2cos（2x-

π

6

）+

3

+m，
（Ⅰ）∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+π，余弦函数cos（2x-

π

6

）单调递减，
则函数的单调递减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]；
（Ⅱ）不存在，理由为：
∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤cos（2x-

π

6

）≤1，
函数f（x）的值域为[

3

-1+m，

3

+2+m]，
又函数f（x）的值域恰为[-

3

，2]，
故

3

+2+m=2，解得m=-

3

，而

3

-1+m=-

3

，解得m=1-2

3

，矛盾，
故不存在这样的m使函数f（x）的值域恰为[-

3

，2]．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的图象与性质，以及余弦函数的单调性，灵活运用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键．