题目内容

球面上三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 $数学公式$ ，若经过三点的小圆的面积为2π，则球的体积为

A.
2 $数学公式$ π
B.
4 $数学公式$ π
C.
$数学公式$ π
D.
5 $数学公式$ π

B
分析：设球面上三点分别为A，B，C．因为正三角形ABC的外径r= $\text{[math]}$ ，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R，最后利用体积公式求出球的体积即可．
解答：设球面上三点分别为A，B，C．
因为正三角形ABC的外接圆的半径r= $\text{[math]}$ ，故高AD= $\text{[math]}$ r= $\text{[math]}$ ，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC= $\text{[math]}$ ，所以BC=BO= $\text{[math]}$ R，BD= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$ R．
在Rt△ABD中，AB=BC= $\text{[math]}$ R，所以由AB²=BD²+AD²，得2R²= $\text{[math]}$ R²+9，所以R= $\text{[math]}$ ．
∴V= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ π
故选B．
点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，球的体积和表面积是常考的题型，是基础题．