题目内容

已知曲线C：3x²+4y²-6=0（y≥0）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）若动点P（x，y）在曲线C上，求z=x+2y的最大值与最小值．

解：（1）3x²+4y²-6=0化成：
$\text{[math]}$ ，
∴曲线C的参数方程为： $\text{[math]}$ （0≤θ≤π），
（2）设P的坐标为：（ $\text{[math]}$ cosθ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sinθ），0≤θ≤π，则：
x+2y= $\text{[math]}$ cosθ+ $\text{[math]}$ sinθ=2 $\text{[math]}$ sin（θ+ $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ ，
∴当θ=π时，z=x+2y取最小值是：- $\text{[math]}$ ；
当θ= $\text{[math]}$ π时，z=x+2y取最大值是：2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）3x²+4y²-6=0化成两个式子的平方和为常数1，通过两个表达式的平方和，即可成曲线C的参数方程．
（2）由（1）可设求出设P的坐标为：（ $\text{[math]}$ cosθ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ sinθ），0≤θ≤π，然后求出z=x+2y，利用三角函数的性质，求出z=x+2y的最大值与最小值即可．
点评：本题是基础题，考查两角和与差的正弦函数，圆的参数方程与普通方程的互化，考查计算能力，易考题型．