Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC为直径的圆O交AC于点D，连接OD，并延长交BA的延长线于点E，圆O的切线DF交EB于F
（Ⅰ）证明：AF=BF；
（Ⅱ）若ED=8，，求OC的长．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵BC为圆O的直径，DF为圆O的切线
∴DF=BF，DF⊥OD
∴∠ODC+∠ADF=90°
∵∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°
∵OD=OC，∴∠ODC=∠C
∴∠ADF=∠BAC
∴AF=DF
∵DF=BF，∴AF=BF；
（Ⅱ）解：在直角△EBO中，∵，
∴
∵ED=8，
∴
∴OC=32
分析：（Ⅰ）利用BC为圆O的直径，DF为圆O的切线，可得DF=BF，DF⊥OD，再证明∠ADF=∠BAC，从而AF=DF，故可证AF=BF；
（Ⅱ）在直角△EBO中，利用，即可求得OC的长．
点评：本题是选考题，考查圆的性质，解题的关键是利用圆的切线性质，属于基础题．