题目内容
设ai>0（i=1,2,…,n）.考查①a1·
≥1,②（a1+a2）（
+
）≥4,③（a1+a2+a3）（
+
+
）≥9后，归纳出对a1,a2,…,an也成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.
分析:由①②③归纳出类似的不等式并不难，关键是如何证明.要注意用上归纳假设及式子的变化.
解:由①②③我们可以得出不等式
（a1+a2+…+an）（++…+）≥n2
下面用数学归纳法证明这个不等式
（1）当n=1时，由题设知不等式成立.
（2）假设当n=k（k≥1）时不等式成立，即
（a1+a2+…+ak）（++…+）≥k2
那么当n=k+1时
（a1+a2+…+ak+ak+1）（
+
+…+
+…+
）
=（a1+a2+…+ak）（
+
+…+
）+ak+1
（
+
+…+
）+
（a1+a2+…+ak）+ak+1·
≥k2+1+（
+
）+（
+
）+…+（
+
）≥k2+1+
=k2+1+2k=（k+1）2.
所以当n=k+1时，不等式成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数n,不等式恒成立.
练习册系列答案
相关题目