Question

过点（1，4）且与圆x²+（y+1）²=1相切的直线方程是

12x-5y+8=0或 x=1

．

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，显然直线x=1与圆相切；当与圆相切的直线斜率存在时，设直线的斜率为k，由直线过（1，4），写出直线的方程，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．

解答：解：由圆x²+（y+1）²=1，得到圆心坐标为（0，-1），半径为1，
显然此时直线x=1与圆x²+（y+1）²=1相切；
当与圆相切的直线斜率存在时，设斜率为k，
此时直线的方程为y-4=k（x-1），即kx-y+4-k=0，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|5-k|

1+k2

=r=1，
整理得：（5-k）²=1+k²，解得：k=

12

5

，
此时直线的方程为

12

5

x-y+

8

5

=0，即12x-5y+8=0，
综上，所求直线的方程为：12x-5y+8=0或x=1．
故答案为：12x-5y+8=0或x=1

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．