Question

已知函数f（x）=1-

1

x

（x＞0），若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），则实数m的取值范围是______．

Answer 1

由题意，设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=（1-

1

x1

）-（1-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0，故函数f（x）=1-

1

x

（x＞0）单调递增，
若存在实数a，b（a＜b），使y=f（x）的定义域为（a，b）时，值域为（ma，mb），
则

f(a)=ma f(b)=mb

，即

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，解得

m= 1 ab 1 a + 1 b =1

，
由基本不等式可得1=

1

a

+

1

b

≥2

1 a • 1 b

，解

ab

＞2，（a＜b取不到等号），故m=

1

ab

∈（0，

1

4

）
故答案为：m∈(0，

1

4

)