Question

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=

π

3

，cosC=

3

3

，a=3．
（Ⅰ）求sinB；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，将sinB化为sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）由sinA，sinC，a的值，利用正弦定理求出c的值，再由a，c，sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且A=

π

3

，cosC=

3

3

，
∴sinC=

1-cos2C

=

6

3

，
则sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

3

3

+

1

2

×

6

3

=

3+ 6

6

；
（Ⅱ）∵在△ABC中，A=

π

3

，sinC=

6

3

，a=3，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，得：c=

asinC

sinA

=

3× 6 3

3 2

=2

2

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×3×2

2

×

3+ 6

6

=

3 2 +2 3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．