题目内容
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．（1）求AC1的长；
（2）求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值．
分析：（1）根据
=
+
+
，两边平方，利用向量的数量积公式，即可得到结论；
（2）确定
，
的数量积与模长，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线AC1与A1B所成角的余弦值．
| AC1 |
| AB |
| AD |
| AA1 |
（2）确定
| AC1 |
| A1B |
解答：解：（1）∵
=
+
+
，AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
∴
2=1+4+9+2•1•2•cos90°+2•1•3•cos60°+2•2•3•cos60°=23
∴|
|=
；
（2）∵
=
-
，
=
+
+
，
∴
•
=(
-
)•（
+
+
）=
2+
•
-
•
-
•
-
2=1-3-9=-11
∵
2=(
-
)2=1+9-3=7，∴|
|=
∴cos＜
，
＞=
=
=
∴异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为
．
| AC1 |
| AB |
| AD |
| AA1 |
∴
| AC1 |
∴|
| AC1 |
| 23 |
（2）∵
| A1B |
| AB |
| AA1 |
| AC1 |
| AB |
| AD |
| AA1 |
∴
| A1B |
| AC1 |
| AB |
| AA1 |
| AB |
| AD |
| AA1 |
| AB |
| AB |
| AA1 |
| AA1 |
| AB |
| AA1 |
| AD |
| AA1 |
∵
| A1B |
| AB |
| AA1 |
| A1B |
| 7 |
∴cos＜
| AC1 |
| A1B |
| ||||
|
|
| -11 | ||||
|
-11
| ||
| 161 |
∴异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为
11
| ||
| 161 |
点评：本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，若
=
，
=
，
=
，则向量
等于（ ）
| A1B1 |
| a |
| A1D1 |
| b |
| AA1 |
| c |
| B1O |
A、
| ||||||||||
B、
| ||||||||||
C、-
| ||||||||||
D、-
|
如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
| BM |
A、-
| ||||||||||
B、
| ||||||||||
C、-
| ||||||||||
D、
|
已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，且∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，求AC1的长．