Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x =-1与x=2处都取得极值。
（1）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[-2，3]，不等式f（x）+c<c²恒成立，求c的取值范围。

Answer 1

解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得
即，
解得，
∴
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（-1，2），增区间为（-∞，-1），（2，+∞）；
（2）由（1）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；
在（2，+∞）上单调递增，
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者，

所以当x=-1时，f（x）取得最大值，
要使，只需，
即2c²＞7+5c，
解得c＜-1或，
∴c的取值范围为。