Question

选修4-5，不等式选讲，已知f（x）=x²-x+c，设x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂．求证：|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

．

Answer 1

证明：因为 f（x）=x²-x+c=(x-

1

2

)2+c-

1

4

，
所以，当x∈（0，1）时，-

1

4

+c≤f(x)＜c，
所以，当x₁，x₂∈（0，1）时，-

1

4

+c≤f(x1)＜c，且 -

1

4

+c≤f(x2)＜c，
所以，-

1

4

＜f(x1)-f(x2)＜

1

4

，从而有|f(x1)-f(x2)|＜

1

4

．