Question

（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，
平面，，分别是，的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，
求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.

Answer 1

（1）延长交的延长线于点，连接∵∥，且∴为的中点. ∴∥.∴∥平面（2）

解析试题分析：解法一：
（1）证明：延长交的延长线于点，连接.

∵∥，且，
∴为的中点.  
∵为的中点，
∴∥. 
∵平面，平面，
∴∥平面. 
（2）解：∵平面，平面，
∴.
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，
∴，. 
∵平面，平面，，
∴平面.
∴为与平面所成的角.  
∵，
在Rt△中，，
∴当最短时，的值最大，则最大.
∴当时，最大. 此时，.
∴.
∵∥，平面，
∴平面.
∵平面，平面，
∴，.