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已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD
1
上运动，另一个端点N在面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为
.
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如图，已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，点P在平面DD
1
C
1
C内，PD
1
=PC
1
=
2
．求证：
（1）平面PD
1
A
1
⊥平面D
1
A
1
BC；
（2）PC
1
∥平面A
1
BD．
已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为BB
1
、CC
1
的中点，那么直线AE与D
1
F所成角的余弦值为（ ）
已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为棱CC
1
的动点．
（1）当E恰为棱CC
1
的中点时，试证明：平面A
1
BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC
1
上是否存在一个点E，可以使二面角A
1
-BD-E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC
1
上的位置；如果不存在，请说明理由．
已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
，则四面体A
1
-C
1
BD在面A
1
B
1
C
1
D
1
上的正投影的面积与该四面体表面积之比是
3
6
3
6
．
已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
，O是底ABCD对角线的交点．
（1）求证：C
1
O∥面AB
1
D
1
；
（2）求异面直线AD
1
与 C
1
O所成角的大小．
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如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在平面DD1C1C内，PD1=PC1=
已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．