Question

 

如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在平面与底面ABC垂直，且ACB=90°，设AC=2,BC=1.

（Ⅰ）求点A到平面FBC的距离；

（Ⅱ）求二面角A-FB-C的大小.                                 

 

 

                                                                          

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法1：

（Ⅰ）解法1：过A作于D，  ∵△为正三角形，

∴D为的中点.

∵BC⊥平面

∴，

又，

∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.…………6分

 (Ⅱ)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角。

在中，

  

.

.

所以，二面角的大小为arctan.

解法二：

取中点连,易知底面，过作直线交。

取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则.

（Ⅰ）设平面的一个法向量，

  又

  由

取 得

点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。

，设所求距离为.   则  

        =.

        所以，A到平面FBC的距离为.…………6分

（II）设平面的一个法向量

                      

由                                 

                       

取    

二面角为锐角，

所以，二面角的大小为…………12分