Question

（）（本小题满分12分）如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边三角形所在平面与面垂直，且，设。

（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）求点与平面的距离；

（Ⅲ）求二面角的大小。

Answer 1

(Ⅰ) 略   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：

（Ⅰ）证明：∵平面∥平面

∴∥∵∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面∴

又∵

∴为与的公垂线。

（Ⅱ）过作于，

∵为正三角形，

∴为中点，

∵平面

∴

又∵

∴平面

∴线段的长即为到平面的距离

在等边三角形中，

∴点到平面的距离为。

（Ⅲ）过作于，连结

由三垂线定理知

∴是二面角的平面角

在中，，～，

∴，∴

所以，二面角的大小为。

法二：取中点，连结，易知平面，

过作直线∥交于

取为空间直角坐标系的原点，、、所在直线分别为如图建立空间直角坐标系，则

（Ⅰ）

∴

∴，∴，

又∵∥，由已知，∥

∴，

即为与的公垂线。

（Ⅱ）设是平面的一个法向量，又，

则，即，令，则

∴设所求距离为，

∴点到平面的距离为。

（Ⅲ）设平面的一个法向量为，又

则则令，则

即，设二面角为，

又二面角为锐角

二面角的大小为。