题目内容
已知椭圆C：
（a＞b＞0）过点A（
），离心率为
，斜率为k（k≠0）的直线l经过椭圆的上焦点F且与椭圆交于P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴交于点M（0，m），与x轴交于点N．（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）记△MPQ，△NMF的面积分别为S1、S2，若S1=6S2，求直线l的方程．
【答案】分析：（1）由题意椭圆C：
（a＞b＞0）过点A（
），离心率为
，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，确定PQ的方程，令x=0可得m=
，从而可求m的取值范围；
（3）求出
，M（0，
），利用韦达定理求出|x1-x2|，进而表示出面积，利用S1=6S2，建立方程，即可求得直线的方程．
解答：解：（1）由题意可得
，∴a=
，b=1，c=1
∴椭圆C的方程为
；
（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=-
，y1+y2=
∴PQ的中点坐标为（-
，
）
∴PQ的方程为
①
令x=0可得m=
，∴M（0，
）
∵k≠0，∴m∈（0，
）；
（3）在①中，令y=0可得：x=
，∴
由（2）得，M（0，
），|x1-x2|=
=
∴
|x1-x2|=
=
∵S1=6S2
∴
=
∴
∴k=±
∴l的方程为y=±
x+1．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示面积是关键．
（a＞b＞0）过点A（
），离心率为
，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，确定PQ的方程，令x=0可得m=
，从而可求m的取值范围；（3）求出
，M（0，
），利用韦达定理求出|x1-x2|，进而表示出面积，利用S1=6S2，建立方程，即可求得直线的方程．解答：解：（1）由题意可得
，∴a=
，b=1，c=1∴椭圆C的方程为
；（2）设l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程可得（2+k2）x2+2kx-1=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=-
，y1+y2=
∴PQ的中点坐标为（-
，
）∴PQ的方程为
①令x=0可得m=
，∴M（0，
）∵k≠0，∴m∈（0，
）；（3）在①中，令y=0可得：x=
，∴
由（2）得，M（0，
），|x1-x2|=
=
∴
|x1-x2|=
=
∵S1=6S2
∴
=
∴
∴k=±
∴l的方程为y=±
x+1．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示面积是关键．
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（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），离心率为
．
（O为坐标原点），求△AOB的面积；
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．
，求点Q的轨迹方程．
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，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N.
时，求k的值.
+
=1(a＞b＞0)，直线y=x+
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，0)求实数k的取值范围。
（a>b>0）的离心率为
，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A、B两点，若
。则
（ ） 
（D）