Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和满足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（x）=2x-1，求证：；
（3）令（a>0），问是否存在正实数a同时满足下列两个条件？
①对任意n∈N₊，都有；
②对任意的m∈（0，），均存在n₀∈N，使得当n≥n₀时总有A_n>m，若存在，求出所有的a，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由得，
即，移项得，
∴，这个n-2等式叠加可得，

又a₂=5，
∴，经验证也适合该式，故；
（2）由（1）知，
又，
∴
，
故，
得证；
（3）由a>0且根据第（2）问的启示，下面a对分三种情况讨论：
1）当a=2时，由（2）知，满足条件①，
另一方面，假设存在，使得当时成立，
即成立，由此解得，设的整数部分为A，
取，则当时必有成立，满足条件②，故a=2时符合题意；
2）当a>2时，，由a>2得，
∴（当n=1时取“=”），
∴，
∴，
令，由（2）知，当时，
∴，
又a>2，
∴，在区间内取一个实数B，必存在一个，使得，这时已不满足条件①，
故a>2时不符合题意，
3）当0<a<2时，
，
∴，
由2）知，即，
而此时，
∴，在区间内取一个实数C，这时不存在使得，否则与矛盾，此时不满足条件②，
故0<a<2时不符合题意，
综合1）， 2）， 3）可知，存在正实数a=2符合题意。