Question

已知函数f（1+x）=f（1-x），当1＜x₁＜x₂时，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，设a=f（-

1

2

），b=f（2），c=f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．b＜a＜c

B．c＜b＜a

C．b＜c＜a

D．a＜b＜c

Answer 1

分析：根据条件求出函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小．

解答：解：∵当1＜x₁＜x₂时，[f（x₂）-f（x₁）]（x₂-x₁）＞0恒成立，
∴当1＜x₁＜x₂时，f （x₂）-f （x₁）＞0，
即f （x₂）＞f （x₁），
∴函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴函数f（x）关于x=1对称，
∴a=f（-

1

2

）=f（

5

2

），
又函数f（x）在（1，+∞）上为单调增函数，
∴f（2）＜f（

5

2

）＜f（3），
即f（2）＜f（-

1

2

）=＜f（3），
∴a，b，c的大小关系为b＜a＜c．
故选：A．

点评：本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查了函数的对称性的应用，是函数性质的一个综合考查．属于基础题．