Question

已知函数f（x）=x²+2x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=-4时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）上无极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意t≥1，有f（2t-1）≥2f（t）-3，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则可得f′（x），令f′（x）=0，再验证是否满足取得极值的条件即可；
（Ⅱ）由于f（x）在区间（0，1）上无极值点，则f′（x）≥0或f′（x）≤0对x∈（0，1）恒成立，即a≥-2x（x+1）或a≤-2x（x+1）在x∈（0，1）上恒成立，故只需a≥[-2x（x+1）]_max或a≤[-2x（x+1）]_min；
（Ⅲ）利用函数的解析式得到f（2t-1）≥2f（t）-3的等价命题，再分离参数得到当t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立，进而得到a的取值范围．

解答：解：f′（x）=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

（x＞0）．
（Ⅰ）当a=-4时，f′（x）=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，解得x=-2或x=1．
当 x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
∴x=1是 f （x） 是极小值点，故f（x）的极小值为3；
（Ⅱ）由于f（x）在区间（0，1）上无极值点，
故f′(x)=2x+2+

a

x

≥0对x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+

a

x

≤0对x∈（0，1）恒成立，
即a≥-2x（x+1）或a≤-2x（x+1）在x∈（0，1）上恒成立，
由于y=-2x（x+1）在（0，1）上减函数，故y_min=-4，y_max=0
所以a≥0或a≤-4
（Ⅲ）∵f（x）=x²+2x+alnx，对任意t≥1，有f（2t-1）≥2f（t）-3，
∴2t²-4t+2≥2alnt-aln（2t-1）=aln

t2

2t-1

，
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0，即t＞1时，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立．
又由ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

]≤

(t-1)2

2t-1

＜(t-1)2在t＞1上恒成立，当t=1时取等号，
∴当t≥1时，ln

t2

2t-1

＜（t-1）²，故a≤2，
则a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题主要考查导数的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．