Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；
（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；
（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．
（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．
（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．
解答：解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
  当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．
又，所以当0＜x＜e时，=g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，
①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．
②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．
所以，满足条件．
③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．
综上可知存在实数a=e²，使f（x）的最小值是3．
点评：本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，运算量较大，综合性较强．