题目内容

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在 $数学公式$ （e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（1）=ln1=0，
所以函数f（x）在[1，3]上的最小值为0．（6分）
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则 $\text{[math]}$ ．
若存在 $\text{[math]}$ 使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于 $\text{[math]}$ 的最小值．
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ ．
所以，当 $\text{[math]}$ 时，h（x）的最小值为h（e）=2+e+ $\text{[math]}$ ；
故a≤2+e+ $\text{[math]}$ ．（13分）
分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，研究出原函数在[1，3]上的单调性即可求出函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立转化为 $\text{[math]}$ 成立，设 $\text{[math]}$ ，利用导函数求出h（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值即可求实数a的取值范围．
点评：本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当a≥h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最大值；当a≤h（x）恒成立时，只需要求h（x）的最小值．