Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=x³-ax²-3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，然后将参数a进行分离可求出所求；
（2）根据x=3是f（x）的极值点，可知f′（3）=0，从而求出a的值，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0，即实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）∵x=3是f（x）的极值点，
∴f′（3）=3×3²-2a×3-3=0，解得a=4，
∴f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）＞0，解得x＜-

1

3

或x＞3，
令f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）＜0，解得-

1

3

＜x＜3，
∴f（x）的单调区间增区间为（-∞，-

1

3

）和（3，+∞），单调递减区间为（-

1

3

，3）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．属于中档题．