题目内容

过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点F引直线l：y=
b
a
x的垂线FM，垂足为M，l交椭圆于P、Q两点，若
PM
=3
MQ
，则该椭圆的离心率为
2-
2
2-
2
．
分析：根据直线的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=
ac
a2+b2
．由
PM
=3
MQ
得M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=
2ac
a2+b2
．由线段垂直平分线定理，得|QF2|=|OF2|=c，结合椭圆的定义得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c，最后在△QF1F2中利用中线的性质，建立关于a、b、c的等式，化简整理得到离心率e的方程，解之即可得到所求离心率．
解答：解：∵直线l的斜率k=
b
a

Rt△OMF2中，tan∠MOF2=
|MF2|
|OM|
=
b
a

结合|OF2|=c，可得|OM|=
ac
a2+b2

∵
PM
=3
MQ
，
∴M是OQ的中点，可得|OQ|=2|OM|=
2ac
a2+b2

∵MF2是OQ的垂直平分线，∴|QF2|=|OF2|=c
连结QF1，由椭圆的定义可得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c
∵OQ是△QF1F2的中线
∴4|OQ|2+|F1F2|2=2（|QF1|2+|QF2|2）
即4×
4a2c2
a2+b2
+4c2=2[（2a-c）2+c2]，
化简整理得e3-3e2-2e+2=0，即（e2-4e+2）（e+1）=0
∵e+1＞0，∴e2-4e+2=0，解之得e=2±
2

∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=2-
2

故答案为：2-
2
点评：本题给出椭圆满足的向量式，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与几何性质、向量的运算和解三角形等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
2
，离心率e=
2
2
3
．过直线l：x=
a2
c
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
2
，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
（2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．
已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求椭圆的方程；
（2）求k的取值范围．
（如图）过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆
x2
5
+y2=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则
a
b
的值为
1+
5
2
1+
5
2
．

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