题目内容

（2013•黄埔区一模）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=6米，AD=4米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于150平方米．
（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．
分析：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC相似于三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，由此能用解析式将S表示成x的函数，并求出该函数的定义域．
（2）利用a+b≥2
ab
，当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最小值即可；
解答：解：（1）设AN的长为x米（x＞4）
由题意可知：∵
|DN|
|AN|
=
|DC|
|AM|
，∴
x-4
x
=
6
|AM|
，
∴|AM|=
6x
x-4
，
∴SAMPN=|AN|•|AM|=
6x2
x-4
，
由SAMPN＜150，得
6x2
x-4
＜150，（x＞4），
∴5＜x＜20，
∴S=
6x2
x-4
．定义域为{x|5＜x＜20}．
（2）∵S=
6x2
x-4
=
6(x-4)2+48(x-4)+96
x-4

=6（x-4）+
96
x-4
+48≥2
6(x-4)•
96
x-4
+48=96（10分）
当且仅当6（x-4）=
96
x-4
，即x=8时，取“=”号
即AN的长为8米，矩形AMPN的面积最小，最小为96平方米．
点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．
练习册系列答案
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（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
2
，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
3
．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围；
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（2013•黄埔区一模）对于函数y=f（x）与常数a，b，若f（2x）=af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“P数对”；若f（2x）≥af（x）+b恒成立，则称（a，b）为函数f（x）的一个“类P数对”．设函数f（x）的定义域为R+，且f（1）=3．
（1）若（1，1）是f（x）的一个“P数对”，求f（2n）（n∈N*）；
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（3）若f（x）是增函数，且（2，-2）是f（x）的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①f（2-n）与2-n+2（n∈N*）；
②f（x）与2x+2（x∈（0，1]）．
（2013•黄埔区一模）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=
{x|2≤x＜3}
{x|2≤x＜3}
．
（2013•黄埔区一模）已知tanα=
1
2
，tan(β-α)=-
1
3
，则tan（β-2α）的值为
-1
-1
．
（2013•黄埔区一模）已知命题“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2-2m，则集合{x|f(x)＜g(x)，
12
≤x≤1}=∅”是假命题，则实数m的取值范围是
（-7，0）
（-7，0）
．

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