Question

【题目】在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）.

（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于， ，设，且，求实数的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （为参数）；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）把直线的极坐标方程化为普通方程，把，代入上式即可求解直线的参数方程；

（Ⅱ）由曲线的极坐标方程，得出曲线的直角坐标方程，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，求得， ，再由题设得，即可求解实数的值.

试题解析：

（Ⅰ）直线的极坐标方程为

所以，即，

因为为参数，若，代入上式得，

所以直线的参数方程为（为参数）；

（Ⅱ）由（），得（），

由， 代入，得（）

将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，

得.（*）

.

， ，

设点， 分别对应参数， 恰为上述方程的根.

则， ， ，

由题设得.

则有，得或.

因为，所以.