Question

13．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}为等比数列；
（2）记S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，若S_n＜100，求满足条件的最大正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推式，变形可得得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{3}（{\frac{1}{a_n}-1}）$，从而可证数列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$为等比数列；
（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数n．

解答 证明：（1）∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-1=\frac{1}{3}（{\frac{1}{a_n}-1}）$，
∵a₁=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{2}{3}$，
∴$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$为以$\frac{2}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．
（2）由（1）知$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}$×（$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2×（$\frac{1}{3}$）ⁿ+1，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+2×（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=n+2×$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n+1}}}{1-\frac{1}{3}}$=n+1-$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∵S_n＜100，
∴${S_n}=n+1-\frac{1}{3^n}＜100$，
故n_max=99

点评 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．