Question

数列{a_n}中，an+1=

an

1+3an

，且a₁=2，则a_n等于（　　）

• A．

  16

  5n-1

• B．

  2

  6n-5

• C．

  4

  6n-5

• D．

  4

  3n-1

Answer 1

分析：先将等式an+1=

an

1+3an

两边同取倒数，可得

1

an+1

=

1+3an

an

=

1

an

+3即

1

an+1

-

1

an

=3，则数列{

1

an

}是首项为

1

2

，公差为3的等差数列，求出数列{

1

an

}的通项公式，从而求出所求．

解答：解：∵an+1=

an

1+3an

，
∴

1

an+1

=

1+3an

an

=

1

an

+3即

1

an+1

-

1

an

=3
∴数列{

1

an

}是首项为

1

2

，公差为3的等差数列
则

1

an

=

1

2

+（n-1）×3=3n-

5

2

=

6n-5

2

∴a_n=

2

6n-5

故选B．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及利用构造新数列求数列的通项公式，同时考查了转化的思想，属于中档题．