Question

(

10

+3)2n+1（n∈N*）的整数部分和小数部分分别为I_n和F_n，则F_n（F_n+I_n）的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、与n有关的数

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式知道展开式中所有含有非整数项的都在奇数项上，与(

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-3)2n+1的含有非整数项相同，通过

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-3的范围，求出(

10

-3)2n+1的小数部分就是本身，也就是(

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+3)2n+1的小数部分．

解答：解：我们注意到其展开式中所有含有非整数项的都在奇数项上
因为我们再看另外一个式子(

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-3)2n+1的展开式，
它与上面那个式子奇数项都相同，偶数项互为相反数
因此我们有(

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+3)2n+1-(

10

-3)2n+1为整数
因为0＜

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-3＜1
所以0＜(

10

-3)2n+1＜1
所以(

10

-3)2n+1就是(

10

+3)2n+1的小数部分，就是Fn
而Fn+In=(

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+3)2n+1
所以Fn（Fn+In）=(

10

-3)2n+1•(

10

+3)2n+1
=[(

10

-3)•(

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+3)]2n+1
=1²ⁿ⁺¹
=1
故选项为A

点评：本题考查二项展开式的通项公式及数学上的等价转化的能力．