Question

已知数列{a_n}满足：
（I）求a₂，a₃；
（II）设，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前20项中所有奇数项的和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用数列的递推公式，分别令n=1，2依次计算可求得a₂，a₃
（II）利用等比数列的定义证出是一个与n无关的常数即可．
（Ⅲ）根据数列的递推公式，先将数列{a_n}前20项中所有奇数项转化为偶数项，再结合相关的求和方法计算．
解答：解：（Ⅰ）令n=1，得a₂=a₁+1=，令n=2，得a₃=a₂-4=-．
（II）b₁=a₂-2=-，且====，是一个与n无关的常数．
 所以数列{b_n}是等比数列，其通项公式b_n=-
（Ⅲ）由（II）可得a_2n=2+b_n．
数列{a_n}前20项中所有奇数项的和S=a₁+a₃+a₅+…+a₁₉=a₁+++…+=1-（1+2+4+…18）+（a₂+a₄+…a₁₈）
=-90+（2+b₁+2+b₂+…2+b₉）=-90+（18+）=-90+9-+=-
点评：本题考查数列的递推公式，等比数列的判定，数列求和．考查逻辑思维、转化、计算论证能力．