Question

19．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=2t\end{array}\right.$（t为参数），直线l的方程为kρcosθ-ρsinθ-k=0（k为实数），若直线l交曲线C于A，B两点，F为曲线C的焦点，则$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$的值为1．

Answer 1

分析 曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=2t\end{array}\right.$（t为参数），化为y²=4x，其焦点F（1，0）．利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直线l的直角坐标方程：kx-y-k=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，由焦点弦长公式可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．代入$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$即可得出．

解答 解：曲线C的方程为$\left\{\begin{array}{l}x={t^2}\\ y=2t\end{array}\right.$（t为参数），化为y²=4x，其焦点F（1，0）．
直线l的方程为kρcosθ-ρsinθ-k=0（k为实数），kx-y-k=0，化为y=k（x-1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
∴|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}+\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=$\frac{\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}+2}{1+\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}+1}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了抛物线参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、抛物线的焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．