Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，C=

π

3

（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（2）记

m

=（sin C+sin（B-A），2），

n

=（sin 2A，1），若

m

与

n

共线，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入题中数据化简得a²+b²-ab=4；而△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

，化简得ab=4，两式联解得a=b=2；
（2）由

m

与

n

共线，根据向量共线的充要条件和两角和与差的正弦公式，化简整理得sinB=2sinA，结合正弦定理得b=2a，再用余弦定理和c=2且C=

π

3

解出ab=

8

3

，利用正弦定理关于三角形面积的公式，即可求出△ABC的面积．

解答：解：（1）由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC
∵c=2，C=

π

3

，∴4=a²+b²-2abcos

π

3

化简得a²+b²-ab=4------①
又∵△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

，
∴

1

2

ab×sin

π

3

=

3

，解之得ab=4------②
①②两式联解，得a=b=2；
（2）∵

m

=（sin C+sin（B-A），2），

n

=（sin 2A，1），且

m

与

n

共线，
∴[sin C+sin（B-A）]×1=2sin 2A------③
∵sin C=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
sin（B-A）=sinBcosA-cosBsinA
∴③式化简为2sinBcosA=2sin2A，即sinBcosA=2sinAcosA
解之得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a
∵c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4
∴b=2a代入，得3a²=4，得ab=2a²=

8

3

根据正弦定理，得△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

点评：本题给出三角形ABC的边c和角C的大小，在已知面积的情况下求a、b的边长，并且在向量

m

与

n

共线的情况下求三角形的面积．着重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等变换和三角形的面积公式等知识，属于中档题．