Question

南充市某商场在经营某种商品的80天内发现：其销售量和价格均是时间x的函数．其中销售量满足f （x）=-

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x+40（0＜x≤80，x∈N₊），在前40天内价格为g₁（x）=

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x+10，（0＜x≤40，x∈N₊），在后40天内价格为g₂（x）=-

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4

x+30（40＜x≤80，x∈N₊）．求这种商品哪天的销售额最大，并求最大值．

Answer 1

分析：先分两段分别写出销售额随时间变化的函数，再利用二次函数配方法分别求两段上的最大值，最后取两段中较大的最大值作为整个函数的最大值即可

解答：解：依题意，商品价格为分段函数g（x）=

1 4 x+10   x∈(0，40] - 1 4 x+30   x∈(40，80]

，而销售量满足f （x）=-

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x+40（0＜x≤80，x∈N₊），
∴前40天的销售额为y=（

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x+10）（-

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x+40）=-

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8

（x+40）（x-80）=-

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（x-20）²+450≤450，（0＜x≤40，x∈N₊）（当且仅当x=20时取等号）
后40天的销售额为y=（-

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x+30）（-

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x+40）=

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8

（x-120）（x-80）=

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（x-100）²-50＜

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（40-100）²-50=400
∴这种商品在第20天销售额最大为450元

点评：本题主要考查了将应用问题转化为数学问题的能力，利用二次函数的图象和性质求函数最值的方法，分段函数最值的求法，实现应用问题向数学问题的转化是解决本题的关键