题目内容
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=
PA, 求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,
使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
证明：（1） ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体.
解：（2）取BC的中点M,连拉PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角. 由（1）知,P-ABC的各棱长均为1,
∴PM=AM=
,由D是PA的中点, 得sin∠DMA=
,∴∠DMA=arcsin
.
（3）存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.
设直平行六面体的棱长均为
,底面相邻两边夹角为α,
则该六面体棱长和为6, 体积为
sinα=V.
∵正四面体P-ABC的体积是
,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim（8V）
故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为arcsim（8V）的直平行六面体即满足要求.
练习册系列答案
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如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)
,
是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°?
若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.
求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）