Question

在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为⊙M．
（1）如果⊙M半径为1，l与⊙M切于点C(

3

2

，1+

3

2

)，求直线l的方程；
（2）如果⊙M半径为1，证明当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一三角形；
（3）如果l的方程为x+y-2-

2

=0，P为⊙M上任一点，求PA²+PB²+PO²的最值．

Answer 1

分析：（1）先求得圆心与切点连线的斜率kMC=

3

再由两者互为负倒数求得kl=-

3

3

．进而求得直线l的方程；
（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），直线AB的方程为：：bx+ay-ab=0．圆心到该直线的距离为d=

|b+a-ab|

a2+b2

=1，整理得（a-2）（b-2）=2，有ab-2（a+b）+2=0，再由基本不等式得ab+2=2(a+b)≥4

ab

，
ab≥6+4

2

．三角形面积S=

1

2

ab≥3+2

2

，周长L=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=(2+

2

)

ab

≥(2+

2

)2=6+4

2

．取得最值的条件一致．所以△AOB为同一三角形．
（3）l的方程为x+y-2-

2

=0，解得A(2+

2

，0)，B(0，2+

2

)，P（m，n）为圆上任一点，PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2

2

)(m+n)+2(2+

2

)2=(9+8

2

)-(2

2

-2)(m+n)．
又因为（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥

(m+n-2)2

2

，所以2-

2

≤m+n≤2+

2

代入上式求解即可．

解答：解：（1）kMC=

3

，（1分），kl=-

3

3

．l：y=-

3

3

x+

3

+1．
（2）设A（a，0），B（0，b），（a＞2，b＞2），
l：bx+ay-ab=0.d=

|b+a-ab|

a2+b2

=1，
（a-2）（b-2）=2，ab-2（a+b）+2=0，ab+2=2(a+b)≥4

ab

，

ab

≥2+

2

，（6分）
ab≥6+4

2

．当且仅当a=b=2+

2

时，ab=6+4

2

．
面积S=

1

2

ab≥3+2

2

，
此时△AOB为直角边长为2+

2

的等腰直角三角形．
周长L=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=(2+

2

)

ab

≥(2+

2

)2=6+4

2

．
此时△AOB为直角边长为2+

2

的等腰直角三角形．
∴此时的△AOB为同一三角形．

（3）l的方程为x+y-2-

2

=0，得A(2+

2

，0)，B(0，2+

2

)，
⊙M：（x-1）²+（y-1）²=1，设P（m，n）为圆上任一点，
则：（m-1）²+（n-1）²=1，m²+n²=2（m+n）-1，(m-1)2+(n-1)2=1≥

(m+n-2)2

2

，2-

2

≤m+n≤2+

2

．PA2+PB2+PC2=3m2+3n2-(4+2

2

)(m+n)+2(2+

2

)2=(9+8

2

)-(2

2

-2)(m+n)．
当m+n=2-

2

时，(PA2+PB2+PO2)max=(9+8

2

)-(2

2

-2)(2-

2

)=17+2

2

．
此时，m=n=1-

2

2

．
当m+n=2+

2

时，(PA2+PB2+PO2)min=(9+8

2

)-(2

2

-2)(2+

2

)=9+6

2

．
此时，m=n=1+

2

2

．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，还考查了用解析法研究三角形面积，周长及线段长的最值问题，