Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求sin2

B

2

+sin2B的值；
（Ⅱ）若b=

3

，当ac取最大值时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据B为三角形的内角，由cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后把所求的式子第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，然后将sinB及cosB的值代入即可求出值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosB，将b，cosB的值代入得到关于a与c的关系式，整理后根据基本不等式得到ac取得最大值时a与c的值，进而由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式求出此时三角形ABC的面积即可．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵cosB=

3

4

，且B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，…（1分）
则sin2

B

2

+sin2B=

1

2

(1-cosB)+2sinBcosB
=

1

8

+2×

7

4

×

3

4

=

1+3 7

8

；…（5分）
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，…（7分）
又b=

3

，cosB=

3

4

，
∴a2+c2-3=

3

2

ac，…（8分）
又a2+c2=

3

2

ac+3≥2ac，
∴ac≤6，当且仅当a=c=

6

时，ac取得最大值，…（11分）
此时S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×

7

4

=

3 7

4

，
则当ac取最大值时，△ABC的面积为

3 7

4

．…（13分）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．