Question

（2013•湖南模拟）定义在R上的函数f（x）满足f(x+2)=2f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=(

2

x

-1)(

2

x

-4)．若f(x)在[-2n，-2n+2](n∈N*)上的最小值为-

9

32

，则n（　　）

A．1

B．4

C．2

D．3

Answer 1

分析：采用换元法并结合二次函数的性质，算出当x∈[0，2]时，[f（x）]_min=-

9

4

，此时x=log2

5

2

．然后类似地算出当x∈[-2，0]、x∈[-4，-2]、x∈[-6，-4]时，f（x）在各个区间上的最小值，即可得到若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为-

9

32

时，x∈[-6，-4]，由此即可得到本题的答案．

解答：解：①∵当x∈[0，2]时，f（x）=(

2

x

-1)(

2

x

-4)，
∴令2^x=t，得f（x）=（t-1）（t-4）=g（t）
当且仅当t=

5

2

时，[f（x）]_min=g（

5

2

）=-

9

4

，此时x=log2

5

2

∈[0.2]．
②当x∈[-2，0]时，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

2

(

2

x+2

-1)(

2

x+2

-4)，
类似①的方法，可得当x=log2

5

8

∈[-2，0）时，[f（x）]_min=-

9

8

；
③当x∈[-4，-2]时，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

4

(

2

x+4

-1)(

2

x+4

-4)
类似①的方法，可得当x=log2

5

32

∈[-4，-2）时，[f（x）]_min=-

9

16

；
④当x∈[-6，-4]时，f（x）=

1

2

f（x+2）=

1

8

(

2

x+6

-1)(

2

x+6

-4)
类似①的方法，可得当x=log2

5

128

∈[-4，-2）时，[f（x）]_min=-

9

32

综上所述，若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为-

9

32

时，n=3
故选：D

点评：本题给出抽象函数f（x），在已知在x∈[0，2]时函数表达式且f（x+2）=2f（x）的情况下，求若f（x）在[2n，2n+2]上的最小值为-

9

32

时n的值．着重考查了函数的对应法则、二次函数的图象与性质和函数值域求法等知识，属于中档题．