Question

如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6，|FG|=10，且，（G为动点，P是HP和GF的交点）．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与直线EF相交于一点C，证明|OC|＜（O为EF的中点）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．由题设，，|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，0）．（x₁-x）²+y₁²=（x₂-x）²+y₂²．由A、B在轨迹上，知，．由此入手能够证明|OC|＜．
解答：解：（Ⅰ）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．
由题设，，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆．
故点P的轨迹方程是．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，0）．
∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x）²+y₁²=（x₂-x）²+y₂²．
又A、B在轨迹上，∴，．
即，．
代入整理，得．
∵x₁≠x₂，∴．
∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁+x₂≤10．
∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁+x₂＜10．
∴，即|OC|＜．…（13分）
点评：本题考查建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程，证明|OC|＜．解题时要认真审题，恰当地建立平面直角坐标系，灵活运用圆锥曲线的性质，合理地进行等价转化．