Question

若函数f（x）=x²+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）是增函数，则a的取值范围是

[3，+∞）

．

Answer 1

分析：求出函数f（x）的导函数，由导函数在（

1

2

，+∞）大于等于0恒成立解答案．

解答：解：由f（x）=x²+ax+

1

x

，得f′(x)=2x+a-

1

x2

=

2x3+ax2-1

x2

，
令g（x）=2x³+ax²-1，
要使函数f（x）=x²+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）是增函数，
则g（x）=2x³+ax²-1在x∈（

1

2

，+∞）大于等于0恒成立，
g^′（x）=6x+2ax=2x（3x+a），
当a=0时，g^′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（

1

2

）≥0，解得

1

4

+

a

4

-1≥0，a≥3；
当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（

1

2

）≥0，解得

1

4

+

a

4

-1≥0，a≥3；
当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x²+ax+

1

x

在（

1

2

，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3．
故答案为[3，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．