Question

如图：已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，AB＝AC，F为棱BB₁上一点，BF∶FB₁＝2∶1，BF＝BC＝2a。

　　（I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC₁；

　　（II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB₁C₁C成60°角，为什么？证明你的结论

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）60°

解析:

（I）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，

　　∴CC₁⊥平面ABC，∴平面BB₁C₁C⊥平面ABC

　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB₁C₁C                                             3＇

　　∴DF为EF在平面BB₁C₁C上的射影，

　　在△DFC₁中，∵DF²＝BF²＋BD²＝5a²，＝＋DC²＝10a²，

　　＝B₁F²＋＝5a²，　∴＝DF²＋，∴DF⊥FC₁

FC₁⊥EF                                                                

　　（II）∵AD⊥平面BB₁C₁C，∴∠DFE是EF与平面BB₁C₁C所成的角                                    

　　在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，

　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上                                

　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB₁C₁C成60°角。