Question

（理）若关于x的不等式

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0的解集为(-

2

3

，

1

2

)，则满足条件的所有实数对（a，b）共有

3

对．

Answer 1

分析：由关于x的不等式

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0的解集为(-

2

3

，

1

2

)，推导出

1-x2

ax+b

＞1的解集为(-

2

3

，

1

2

)，由此能得到满足条件的所有实数对（a，b）共有3对．

解答：解：∵

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0，
∴lg

1-x2

ax+b

＞0，
∴

1-x2

ax+b

＞1，
∵关于x的不等式

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0的解集为(-

2

3

，

1

2

)，
∴

1-x2

ax+b

＞1的解集为(-

2

3

，

1

2

)，
满足条件的a，b有三种情况：
①x=-

2

3

和x=

1

2

时，

1-x2

ax+b

=1同时存在；
②x=-

2

3

时，

1-x2

ax+b

=1，x=

1

2

时，ax+b=0；
③x=

1

2

时，

1-x2

ax+b

=1，x=-

2

3

时，ax+b=0．
∴

1-(- 2 3 )2 - 2 3 a+b =1 1-( 1 2 )2 1 2 a+b =1

，或

1-(- 2 3 )2 - 2 3 a+b =1 1 2 a+b=0

，或

1-( 1 2 )2 1 2 a+b =1 - 2 3 a+b=0

，
∴满足条件的所有实数对（a，b）共有3对．
故答案为：3．

点评：本题考查对数不等式的解法和应用，解题时要认真审题，注意对数函数的性质和等价转化思想的合理运用．