Question

（本小题满分14分）已知椭圆两焦点分别为、,是椭圆在第一象限弧上的一点，并满足,过点作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于、两点.
（1）求点坐标；
（2）证明：直线的斜率为定值，并求出该定值；
（3）求△面积的最大值.

Answer 1

（1）点P的坐标为
（2）直线AB斜率为定值，值为.
（3）△PAB面积的最大值为.

解：（1）由题可得
则
           ①
在曲线上，则  ②
由①②得，则点P的坐标为 ………（4分）
（2）设直线PA斜率K，则直线PB斜率-K，设，
则直线与椭圆方程联立得：

由韦达定理：
同理求得


综上，直线AB斜率为定值，值为.     …………（9分）
（3）设AB的直线方程：
由 ，得
由
P到AB的距离为,
则

当且仅当时取等号，
△PAB面积的最大值为.   …………（14分）