题目内容
【题目】已知抛物线
过点
（1）求抛物线
的方程，并求其焦点坐标与准线方程；
（2）直线
与抛物线交于不同的两点
，
过点作
轴的垂线分别与直线
，
交于
，
两点，其中
为坐标原点.若为线段
的中点，求证：直线恒过定点.
【答案】（1）抛物线
的方程为
，其焦点坐标为
，准线方程为
（2）证明见解析；
【解析】
(1) 点
代入求得
，即可的抛物线方程求得结果.
(2) 由题意知直线
斜率存在且不为零，设直线方程为
，与抛物线方程联立，设
，
，根据已知由
:
， 
:
，及过点
作
轴的垂线求得
的坐标，根据
为线段
的中点，借助韦达定理化简即可证得结论.
解：（1）由抛物线
过点，
得
，所以抛物线的方程为，
其焦点坐标为，准线方程为.
（2）由题意知直线斜率存在且不为零，设直线方程为，直线与抛物线的交点为，.
由
得
，
由韦达定理，得
，
.
由已知得直线的方程为，所以
，
由已知得直线方程为，所以
.
因为是线段的中点，所以
①，
将
，
，代入①式，并化简得
，
把，代入②式，化简得
所以直线的方程为
，故直线恒过定点
.
【题目】随着生活水平的逐步提高，人们对文娱活动的需求与日俱增，其中观看电视就是一种老少皆宜的娱乐活动．但是我们在观看电视娱乐身心的同时，也要注意把握好观看时间，近期研究显示，一项久坐的生活指标——看电视时间，是导致视力下降的重要因素，即看电视时间越长，视力下降的风险越大．研究者在某小区统计了每天看电视时间
（单位：小时）与视力下降人数
的相关数据如下：
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| 12 | 16 | 22 | 24 | 26 |
（1）请根据上面的数据求关于的线性回归方程
（2）我们用（1）问求出的线性回归方程
的
估计回归方程
，由于随机误差
，所以
是
的估计值，
成为点（
，
）的残差．
①填写下面的残差表，并绘制残差图；
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
| 12 | 16 | 22 | 24 | 26 |
|
②若残差图所在带状区域宽度不超过4，我们则认为该模型拟合精度比较高，回归方程的预报精度较高，试根据①绘制的残差图分折该模型拟合精度是否比较高？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
