题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
求：（Ⅰ）函数f （x）的最小正周期；
（Ⅱ）函数f （x）的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；
（Ⅲ）函数f （x）的单调减区间．

解：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
（Ⅰ）T=π．
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，
即 $\text{[math]}$ 时，
∴f（x）_max=1．
（Ⅲ）当 $\text{[math]}$ 时，函数单调递减．
即 $\text{[math]}$ 为此函数的单调递减区间．
分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的最值，求出函数f （x）的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；
（Ⅲ）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f （x）的单调减区间．
点评：本题考查三角函数的二倍角公式，两角和的正弦函数的应用，考查函数的指正，周期单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．