Question

某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是

2

3

，后两关每关通过的概率都是

1

2

．
（1）求该人获得奖金的概率；
（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）设A_n（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则该人获得奖金的概率为P=P（A₁A₂A₃A₄A₅）+P（A1A2A3

.

A4

A4A5）+P（A1A2A3A4

.

A5

A5），即可求得结论；
（2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．

解答：解：（1）设A_n（n=1，2，3，4，5）表示该人通过第n关，则A_n（n=1，2，3，4，5）相互独立，且P（A_n）=

2

3

（n=1，2，3），P（A₄）=P（A₅）=

1

2

∴该人获得奖金的概率为P=P（A₁A₂A₃A₄A₅）+P（A1A2A3

.

A4

A4A5）+P（A1A2A3A4

.

A5

A5）
=(

2

3

)3×(

1

2

)2+2×(

2

3

)3×(

1

2

)3=

4

27

；
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，则
P（ξ=0）=

1

3

；P（ξ=1）=

2

3

×

1

3

=

2

9

；P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

；P（ξ=3）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

2

27

；
P（ξ=4）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×2=

2

27

；P（ξ=5）=

4

27

，
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 3	2 9	4 27	2 27	2 27	4 27

∴Eξ=1×

2

9

+2×

4

27

+3×

2

27

+4×

2

27

+5×

4

27

=

16

9

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．