Question

设函数f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)．
（1）若a=1，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3-x
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）a=1时，f（x）=lnx+

2

x

，定义域是x＞0，设F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+

2

x

-3，由F（x）_min=F（1）=0，能够证明f（x）≥3-x．
（2）由f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)，知f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

ax-2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，再由实数a的范围，讨论函数f（x）的单调性．

解答：（1）证明：a=1时，f（x）=lnx+

2

x

，定义域是x＞0，
设F（x）=f（x）-（3-x）=lnx+x+

2

x

-3，
F′（x）=

1

x

+1-

2

x2

=

x2+x-2

x2

=0，
x²+x-2=0
∴x=1，x=-2（舍去）
当F′（x）＞0时，x＞1；
当F′（x）=0时，x=1；
当F′（x）＜0时，x＞1．
∴F（x）_min=F（1）=0+1+2-3=0
∴F（x）≥0，
∴f（x）≥3-x．
（2）解：∵f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)，
∴f′(x)=

a

x

-

2a2

x2

=

ax-2a2

x2

=

a(x-2a)

x2

，
①当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＞2a；由f′（x）＜0得，x＜2a．
∴f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)的增区间是（2a，+∞），减区间是（0，2a）．
②当a＜0时，由f′（x）＜0恒成立，故f(x)=a1nx+

2a2

x

(a≠0)在（0，+∞）递减．

点评：本题考查不等式的证明，考查函数的单调性的讨论，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，合理地运用导数知识解题．