Question

已知椭圆和动圆，直线：与和分别有唯一的公共点和．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值，并求此时圆的方程．

 

Answer 1

（Ⅰ）[1，2）（Ⅱ）1，x2+y2=2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将直线方程与椭圆方程联立消去整理成关于的一元二次方程，因为直线与椭圆只有一个公共点，则判别式为0，列出关于m，k的方程，再由直线与圆只有一个公共点知，直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径找出r,m,k关系，将这两个关于m,k的方程联立，消去m，将r表示成k的函数，利用函数求值域的方法，求出r范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得A,B两点的横坐标，利用弦长公式将AB用r表示出来，利用函数求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值时的r值，从而写出圆的方程.

试题解析：（Ⅰ）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．

由于l与C1有唯一的公共点A，故△1=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=0， 2分

从而m2=1+4k2 ①

由，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣r2=0．

由于l与C2有唯一的公共点B，故△2=4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣r2）=0， 4分

从而m2=r2（1+k2） ②

由①、②得k2=．

由k2≥0，得1≤r2＜4，所以r的取值范围是[1，2）． 6分

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）的解答可知

x1=﹣=﹣，x2=﹣=﹣．

|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=（1+k2）•=•k2•（4﹣r2）2

=•（4﹣r2）2=， 9分

所以|AB|2=5﹣（r2+）（1≤r＜2）．

因为r2+≥2×2=4，当且仅当r=时取等号，

所以当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2． 12分

考点：直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，最值问题，转化与化归思想，运算求解能力