Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²-x（a≠0）．
（1）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a的值并求点P的坐标；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设函数y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点P（x₀，y₀），求导数，利用导数值相等，即可求出实数a的值并求点P的坐标；
（2）由f（x）=g（x），表示出a，求导函数，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）设函数y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点P（x₀，y₀），则有lnx0=a

x

2 0

-x0①
又在点P有共同的切线，
∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2ax0-1⇒a=

1+x0

2 x 2 0

，
代入①得lnx0=

1

2

-

1

2

x0----------3分
设h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x⇒h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)
∴函数h（x）最多只有1个零点，由题意x₀=1是零点，
∴a=1，此时P（1，0）----------3分
（2）由f(x)=g(x)⇒lnx=ax2-x⇒a=

lnx+x

x2

---------2分
令r(x)=

lnx+x

x2

⇒r′(x)=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

--2分
当0＜x＜1时，r'（x）＞0，则r（x）单调递增
当x＞1时，r'（x）＜0，则r（x）单调递减，且

lnx+x

x2

＞0
∴r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，----------2分
∴要使y=

lnx+x

x2

与y=a有两个不同的交点，则有0＜a＜1----2分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．