题目内容
直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B。
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。
解：（1）将直线l的方程
代入双曲线C的方程
后，整理得
①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
解得k的取值范围是
。
（2）设A、B两点的坐标分别为
、
则由①式得
②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）
则由FA⊥FB得：
，即
整理得
③
把②式及
代入③式化简得
解得
或
（舍去）
可知
使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
代入双曲线C的方程后，整理得 ①依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
解得k的取值范围是
。（2）设A、B两点的坐标分别为
、则由①式得
②假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0）
则由FA⊥FB得：
，即整理得
③ 把②式及
代入③式化简得解得
或（舍去）可知
使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
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