Question

15．解不等式 $\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{\sqrt{{x}^{2}+3}+1}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＞1．

Answer 1

分析 把不等式化为$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜2；
利用放缩法，得出该不等式对于x∈R恒成立，从而求出原不等式的解集．

解答 解：不等式可化为（1-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$）+（1-$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$）+（1-$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$）＞1，
即$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}+\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜2；

又$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$＜$\frac{1}{2}$，
$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$＜$\frac{2}{3}$，
$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜$\frac{3}{4}$；
∴$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+2}$+$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+2}+3}$+$\frac{3}{\sqrt{{x}^{2}+3}+4}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{23}{12}$＜2；
上述不等式对于x∈R时都成立．
所以，原不等式的解集为R．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也利用放缩法证明不等式恒成立的问题，是综合性题目．